Что же такое замкнутое многообразие? Мы не будем подходить к определению замкнутого многообразия со строгой математической формулировкой, а ограничимся интуитивным описанием этого понятия.

Простейшим тривиальным замкнутым многообразием размерности n=1 является окружность . Всякая окружность характеризуется радиусом. Если радиус равен нулю, то мы получаем простейшее замкнутое многообразие нулевой размерности  (точку). Простейшим замкнутым многообразием размерности n=2 является сфера . Мы знаем также такую фигуру как тор (бублик). Это тоже замкнутое многообразие размерности n=2. В топологии тор рассматривается как произведение двух многообразий меньших размерностей: . Известная всем бутылка Клейна  также является замкнутым многообразием. Но у бутылки Клейна уже появляется новая характеристика. Если сфера и тор являются многообразиями на которых возможно задать ориентацию, то бутылка Клейна является неориентированным многообразием.

Простейшим нетривиальным замкнутым многообразием является проективная плоскость. Нет ли здесь противоречия? Вроде речь идёт о плоскости, но в то же время плоскость эта замкнута. Дело в том, что каждая прямая проективной плоскости в отличие от евклидовой плоскости имеет бесконечно удалённую точку. Если взять на какой-то произвольной прямой  проективной плоскости произвольную точку и начать двигаться от неё в разные стороны, то мы обязательно встретимся в бесконечно удалённой точке. Все бесконечно удалённые точки лежат на одной бесконечно удалённой прямой. В нашем будничном понимании за образ бесконечно удалённой прямой можно принять линию горизонта, которую хорошо можно наблюдать в степи или на море.

Проективная плоскость, как замкнутое многообразие, имеет много интересных свойств чем, вероятно, всегда и привлекала внимание математиков, а в последнее время – и физиков. Скажем несколько слов об этих свойствах.

Понятие координатной системы на  можно ввести различными способами, при этом точка начала координат  на проективной плоскости отсутствует. Эта точка всегда принадлежит пространству, размерность которого на единицу больше размерности того пространства, где вводится координатная система.

Проективные пространства чётной размерности – это всегда пространства, на которых невозможно ввести ориентацию. Другими словами на проективной плоскости всегда можно выделить одностороннюю поверхность, которую мы попросту называем листом Мёбиуса. А осевая линия листа Мёбиуса является образом прямой линии проективной плоскости.

Каждая точка и каждая прямая  задаётся тремя числовыми значениями (координатами). Глядя на математическую запись точек и прямых невозможно без дополнительных пояснений понять о чём идёт речь, о точках или о прямых. Это свойство  называется принципом двойственности.

Кроме этого можно сказать, что проективная плоскость имеет более десятка различных математических моделей, что даёт дополнительные возможности для её изучения.

Особо надо отметить, что проективная геометрия может служить исходным прототипом для построения вообще любой геометрии, как евклидовой так и неевклидовых.